Enunt
Sa se ordoneze crescator numerele $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[4]{5}$.
Abordare
Evident, nu putem sa comparam numere cu puteri diferite (si radicalul e tot o putere). Trebuie sa le aducem la o forma similara (aceeasi putere).
Rezolvare
Rescriem numerele, pentru a fi mai clar cu ce avem de lucrat.
$$ \sqrt{2} = 2^ { \frac{1}{2} } $$
$$ \sqrt[3]{4} = 4^ { \frac{1}{3} } $$
$$ \sqrt[4]{5} = 5^ { \frac{1}{4} } $$
Bineinteles, am dori sa scapam de aceste puteri incomode. Putem ridica la o putere toate numerele, si relatia dintre ele se pastreaza (daca $ 2 < 3 $, atunci si $ 2^x < 3^x $).
Observam ca numitorul comun al lui $2$ $3$ si $4$ e $12$, asa ca ridicam la puterea a $12$a fiecare numar:
$$ (2^ { \frac{1}{2} })^{12} = 2^6 = 64 $$
$$ (4^ { \frac{1}{3} })^{12} = 4^4 = 256 $$
$$ (5^ { \frac{1}{4} })^{12} = 5^3 = 125 $$
Asadar, am aflat relatia dintre numerele ridicate la puterea a $12$a, si, implicit, si pe cea dintre numerele initiale:
$$ 64 < 125 < 256 => \sqrt{2} < \sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{4} $$