Enunt
Sa se determine inversa functiei bijective $\ f \colon {\rm I\!R} \to (1, \infty), \ f(x) = e^x + 1$.
Abordare
A gasi inversa unei functii inseamna, practic, a gasi x in functie de y (initial avand y in functie de x), unde y = f(x). De ce?
O functie reprezinta o relatie intre abscisa si ordonata, intre niste valori dintr-o multime si alte valori din alta multime. Putem scrie o functie $f(x) = 2x$ si sub forma $y = 2x$, unde $y$ reprezinta valoarea functiei $f$ in punctul $x$.
Dar putem privi acest $y = 2x$ si ca pe o ecuatie cu doua necuoscute. Pratic, poti sa calculezi un $y$ daca “ti se da” un $x$, sau invers (!!). Acest invers e cuvantul cheie.
Sa luam un exemplu. Fie: $$f \colon \{1, 2, 3\} \to \{1, 4, 9\}$$
$$f(x) = x^2$$
Functia $f$ ne arata corespondenta dintre domeniul de definitie ${1, 2, 3}$ si multimea de valori ${1, 4, 9}$. Si anume pentru orice punct din domeniul de definitie, ne spune valoarea lui $f$ in acel punct. Inversa lui $f$ trebuie sa ne spuna in ce punct are $f$ o anumita valoare. Adica daca lui $f$ ii dai $2$ si iti da inapoi $4$, inversei ii dai $4$ si iti da inapoi $2$. Cu alte cuvinte, daca:
$$y = x^2$$
Pentru $x = 2, y = 4$, si pentru $y = 4, x = 2$. Acum ne punem problema: cat este, in general, x in functie de y? Raspunsul este sa consideram in ecuatia de mai sus pe y ca fiind cunoscut, si x necunoscut. Astfel:
$$y = x^2$$ $$\sqrt{y} = \sqrt{x^2}$$ $$\sqrt{y} = x$$
Si asta e functia inversa lui $f$. Scrisa altfel:
$$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$
Rezolvare
Avand in vedere cele spuse mai sus, problema devine foarte simpla. In primul rand, o punem sub o forma mai frumoasa:
$$y = e^x + 1$$
Si vrem sa il gasim pe x: $$y - 1 = e^x$$ $$ln(y - 1) = ln(e ^ x)$$ $$ln(y - 1) = x$$
Asadar, solutia este:
$$f^{-1}(x) = ln(x - 1)$$