Enunt
Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia: $$ \frac{3x-1}{x+1} + \frac{x+1}{2x-1} = 3 $$
Abordare
O ecuatie de gradul doi banala, e o problema exclusiv de calcul. O aducem la forma canonica $ax^2 + bx + c = 0$ si rezolvam.
Rezolvare
$$ \frac{3x-1}{x+1} + \frac{x+1}{2x-1} = 3 $$
Trecem primul termen in partea dreapta cu semn schimbat
$$ \frac{x+1}{2x-1} = 3 - \frac{3x-1}{x+1} $$
Amplificam $3$ cu $x+1$
$$ \frac{x+1}{2x-1} = \frac{3x + 3}{x+1} - \frac{3x-1}{x+1}$$
Calculam suma in partea dreapta
$$ \frac{x+1}{2x-1} = \frac{3x + 3 -3x +1}{x+1}$$ $$ \frac{x+1}{2x-1} = \frac{4}{x+1}$$
Produsul mezilor e egal cu produsul extremilor
$$(x+1)^{2} = 4 * (2x - 1)$$ $$x^2 + 2x + 1 = 8x - 4$$
Trecem toti termenii in partea stanga (schimbam semnul cand trecem din dreapta in stanga)
$$x^2 + 2x + 1 - 8x + 4 = 0$$ $$x^2 - 6x + 5 = 0$$
Acum ecuatia este in forma canonica. Rezolvam dupa metoda cunoscuta:
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-6 * -6) - (4 * 1 * 5) = 36 - 20 = 16 $$ $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$ $$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 - 4}{2} = 1$$
Asadar, multimea solutiilor este $\{1, 5\}$