Enunt
Sa se arate ca numarul $(1-i)^{24} \in {\rm I\!R}$.
Abordare
Pare o problema destul de simpla. Putem pur si simplu sa calculam numarul, 24 nu e o putere asa mare. Calculam $x^2, x^4, x^8, x^{16}$ si apoi $x^{24} = x^{16} * x^8$. Totusi, e posibil sa existe o solutie mai usoara.
Metoda 1
Incercam sa calculam numarul “muncitoreste”. Pentru usurinta in scris, notam $x = (1-i)$, deci trebuie sa gasim $x^{24}$. $$x^{2} = (1-i) * (1-i) = 1 - i - i + i^{2} = 1 -2i -1 = -2i$$ $$x^{4} = x^{2} * x^{2} = -2i * -2i = 4i^{2} = -4$$ $$x^{8} = x^{4} * x{4} = -4 * -4 = 16$$ $$x^{16} = x^{8} * x^{8} = 16 * 16 = 256$$ $$x^{24} = x^{16} * x^{8} = 16 * 256 = 4096 \in {\rm I\!R}$$ Am gasit ca $x^{24} = 4096$, care e evident numar real, deci am terminat.
Metoda 2
Putem observa din calculul $x^4$ de mai sus ca este egal cu $-4$. Asadar, $$x^{24} = (x^{4})^6 = (-4)^{6} = 16^{3} = 256 * 16 = 4096 \in {\rm I\!R}$$ Sau: $$x^{24} = {x^2}^{12} = {-2i}^{12} = (-2)^{12} * i^{12} = 4096 * 1 = 4096 \in {\rm I\!R}$$